Physik Projektkurs - Seebeck-Generator
Einbeziehung der Temperaturabnahme an der Raumluft in die Messergebnisse am Beispiel des Elements SP1848
Verlauf der Temperatur des heißen Gefäßes währen der Messung (siehe rote Kurve)
Verlauf der Abkühlung an der Raumluft
t1(x) = f1(x)
f2(x) =
f1(x) =
f2(x) =
Die Messergebnisse der Messungen zum Wirkungsgrad werden maßgeblich von der Temperatur ab, die als zugeführte Energie das Peltierelement erreicht. Nach dem Versuchsaufbau wird die Hitze des heißen Gefäßes über eine Metallstrebe zum Peltierelemt geleitet. Unabhängig von der Wärmeleitfähigkeit des Metalls, die möglicherweise den Zusammenhang von Temperatur und Leistung, abhängig von der Zeit beeinflusst, wird jedoch auch Wärmeenergie vom Wasser und von der Metallstrebe an die Raumluft abgegeben. Abhängig von der Zimmertemperatur sinkt somit die Temperatur des heißen Gefäßes nicht nur aufgrund der Abgabe der Energie an das Peltierelement, sondern auch aufgrund von Verlusten die nicht in die Berechnung des Wirkungsgrades einbezogen werden. Man geht somit von einer zu hohen zugeführten Energie aus, aus der ein zu kleiner Wirkungsgrad hervorgeht.
Die tatsächlich zugeführte Energie lässt sich aufgrund des Versuchsaufbaus also nicht isoliert bestimmen, weshalb es notwendig ist, die an die Raumluft abgegebene Energie zu messen, um diese anschließend von der insgesamt abgegebenen Energie zu subtrahieren. Dazu trennt man lediglich die Verbindung des heißen Gefäßes zum kalten Gefäß (siehe Abbildung) und misst die den Verlauf der Temperatur, abhängig von der Zeit. Wenn man nun das Integral der erhaltenen Funktion bildet, erhält man die Energie, die in einer bestimmten Zeit an die Raumluft abgegeben wurde und kann diese vom Integral der ursprünglichen Messung abziehen. Voraussetzungen hierfür sind eine gemeinsame Skala der Zeitachse und eine von der ursprünglichen Messung festgelegte Ausgangstemperatur zum Zeitpunkt 0, von dem aus man bis zum Ende der Messung das Integral bildet:
Als Rahmenintervall wird die Zeitspanne der Messung (x-Richtung) und die Temperaturen zum Anfang bzw. Ende der Messung (y-Richtung) gewählt.
Dazu muss zunächst die Funktion nach rechts verschoben werden, sodass die y-Achsenabschnitte der Funktionen übereinstimmen:
f1(0) = 47,4
f2(x) = 47,4
x = -33.5079
f2(x-33.5079) =
f3(x) = 47,4
x = 0
f3(x) = 39,2
x = 585.714
Es ergibt sich die folgende Darstellung:
Der Flächeninhalt zwischen der konstanten Funktion k(x) = 47,4 und der Funktion f3(x) entspricht der Energie, die auch während der Messung an die Raumluft abgegeben worden ist. Diese Energie muss zu der Energie hinzuaddiert werden, die das Integral unter der Funktion f1(x) im gleichen Zeitraum beschreibt. Anders formuliert wird die Fläche zwischen f3(x) und f1(x) als die Temperatur, die tatsächlich an das Peltierelement abgegeben worden ist vom Integral der konstanten Temperatur (k(x) abgezogen, um die Temperatur zu erhalten, die das heiße Gefäß ohne eine Abkühlung an der Raumluft nach der Messung haben müsste.
27762.86 - 25361.429 = 2401.429
2160.59 + 25361.43 = 27522
i=0.1002895
Wenn man den Faktor i in die Funktion f1(x) einberechnet, ergibt sich folgende Funktion:
47.4-0.014*0.100289*x = 47.4-0.0014*x = g(x)
g(585.7143) = 46.578
Die Differenz zwischen Anfangs- und Endtemperatur, die ohne die Abgabe von Energie an den Raum bestehen würden ist somit bedeutend kleiner, als angenommen:
47.4°C - 46.578°C = 0.8224°C
Wirkungsgrad - Berechnung:
Spezifische Wärmekapazität von Wasser: 4,18 J/g*K
--> Energie, die benötigt wird, um 1g Wasser um 1°C zu erhitzen
210,7 cm^3 (entspricht 210,7 g) Wasser wurden um 0,8224°C erhitzt. Mithilfe dieser thermischen Energie hat das Element 0.690547 J erzeugt.
0,690547 J / 210,7 g = 0,003277 J/g
0,003277 J/g / 0,8224 K = 0,0039847 J/g*K
0,0039847/4,18 = 0,000953 --> 0,0953 % Wirkungsgrad
Wirkungsgrad - Berechnung (ohne Einbeziehung der Abkühlung an der Raumtemperatur):
Spezifische Wärmekapazität von Wasser: 4,18 J/g*K
--> Energie, die benötigt wird, um 1g Wasser um 1°C zu erhitzen
210,7 cm^3 (entspricht 210,7 g) Wasser wurden um 1,9°C erhitzt. Mithilfe dieser thermischen Energie hat das Element 0.690547 J erzeugt.
0,690547 J / 210,7 g = 0,003277 J/g
0,003277 J/g / 1,9 K = 0,001725 J/g*K
0,001725/4,18 = 0,000413 --> 0,0413 % Wirkungsgrad
Der Wirkungsgrad ist nach der Einbeziehung der Abkühlung an der Raumluft also insgesamt um den Faktor 2,3 größer. Dennoch unterschreitet der Wert von 0,0953% die Herstellerangaben zu den meisten Thermoelementen deutlich (3–8 %).
= f3(x)
f3(x) =
f1(x)
--> nach rechts verschobene Funktion
Berechnung von y-Achsenabschnitt und vom Zeitpunkt des Eintretens der gemessenen Endtemperatur (39,2°C), welcher das Ende der Messung markiert und somit auch den Betrachtungs- bzw. Definitionsbereich dieser Berechnung vorgibt.
k(x): Konstante Funktion, entsprechen der Anfangstemperatur der Messung
f3(x): Verlauf der Abkühlung an der Raumluft
f1(x): Verlauf der Abkühlung des heißen Gefäßes während der Messung
k(x) = 47,4
Berechnung der Differenz zwischen k(x) und f3(x):
Addition der Differenz zum Integral von f1(x):
Berechnung der Steigung der Funktion f3(x), die sich ohne die Abkühlung an der Raumluft ergäbe
Vorausgesetzt sind die Linearität der Funktion sowie der y-Achsenabschnitt bzw. die Anfangstemperatur von 47,4°C.